Экологичные технологии
Навигация
Библиотека
Скачать Книги
Поиск по сайту

Главная > Общий курс электропривода > Глава №5. Переходные процессы

Глава №5. Переходные процессы

Глава пятая
Переходные процессы.

5.1. Общие сведения
В предыдущих разделах изучались свойства и характеристики электроприводов в установившихся режимах, то есть при выполнении условия
М – Мс = 0.
В настоящей главе рассматриваются неустановившиеся или переходные процессы, имеющие место при переходе привода из одного установившегося состояния в другое, совершающемся во времени. При этом

Можно назвать следующие причины возникновения переходных процессов:

  • изменение Мс;
  • изменение М, то есть переход привода с одной характеристики на другую, имеющий место при пуске, торможении, реверсе, регулировании скорости, изменении какого-либо параметра привода.

Необходимость в анализе переходных процессов возникает в связи с тем, что производительность ряда ответственных механизмов (например, реверсивного прокатного стана) определяется быстротой протекания переходных процессов; качество выполнения многих технологических операций определяется переходными процессами (движение лифта, врезание резца в деталь и т.п.); механические и электрические перегрузки оборудования в большинстве случаев определяются переходными процессами.
Объектом исследования, как и прежде, будет упрощенная, идеализированная модель привода – рис. 5.1.

Рис. 5.1. Модель электропривода для исследования динамики
Основная задача при изучении переходных процессов сводится к определению зависимостей w(t), M(t) и i(t) для любых конкретных приводов в любых условиях.
При изучении переходных процессов мы будем полагать известными следующие исходные данные:
- начальное состояние: wнач, Мнач, iнач;
- конечное состояние: wкон, Мкон, iкон и соответствующая ему характеристика w(М);
- характер изменения во времени фактора, вызвавшего переходный процесс;
- параметры привода.
Все возникающие на практике задачи в целях их упорядоченного изучения разделим на четыре большие группы.
1. Преобладающей инерционностью в приводе является механическая инерционность (J); электрические инерционности (L) малы или не проявляются. Фактор, вызывающий переходный процесс, изменяется скачкообразно (мгновенно) то есть много быстрее, чем скорость.
Примеры задач, относящихся к этой группе: мгновенный наброс и сброс нагрузки, пуск, реверс, торможение, регулирование скорости асинхронных двигателей при питании от сети, если не учитывать индуктивности обмоток; то же для двигателей постоянного тока независимого возбуждения если Ф = const, а = 0, то же для двигателей последовательного или смешанного возбуждения, если = =0.
2. Преобладающая инерционность – механическая (J); индуктивности электрических цепей малы или не проявляются. Фактор, вызывающий переходный процесс, изменяется не мгновенно, то есть темп его изменения соизмерим с темпом изменения скорости w (“медленное” изменение воздействующего фактора).
Примеры: переходные процессы в системах управляемый преобразователь – двигатель постоянного тока, преобразователь частоты – асинхронный двигатель, если L = 0.
3. Механическая и электрическая инерционность соизмеримы; фактор, вызывающий переходный процесс, изменяется мгновенно.
Примеры: переходные процессы в приводе постоянного тока при Ф = var; то же при Ф = const, но ¹ 0, то же в системе источник тока – двигатель.
4. Учитываются несколько инерционностей, фактор, вызывающий переходный процесс, изменяется не мгновенно. Эти наиболее сложные задачи, относящиеся к замкнутым системам регулирования, мы рассмотрим очень кратко – они будут детально изучаться в других курсах.

5.2. Переходные процессы при L = 0 и “быстрых” изменениях воздействующего фактора
Все переходные процессы, относящиеся к первой группе, подчиняются, очевидно, механическому уравнению движения
(5.1)
Искомые зависимости w(t) и M(t) должны быть получены путем решения этого уравнения при заданных начальных условиях. Конкретные особенности привода отразятся в виде зависимостей M(w) и Mс(w), входящих в уравнение (5.1).

а) M = const, Mс = const
Начнем рассмотрение задач первой группы с простейшего случая, когда в переходном процессе M = const, и Mс = const.


а)

б)

Рис. 5.2. Механические характеристики (а) и временные зависимости (б)
при М = const и Mc = const
Пусть привод (рис. 5.1) работал в точке wнач, Мнач = Мс (рис. 5.2) некоторой характеристики (она нас не интересует) и в момент времени t = 0 был мгновенном переведен на новую характеристику, показанную на рис. 5.2,а жирной линией.
Уравнение (5.1) в этом случае – дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными и его решение имеет вид:

Постоянную интегрирования С найдем из начального условия – при t = 0, w= wнач:
wнач = С.
Окончательно будем иметь:
(5.2)
Это решение действует на интервале wнач < w < wкон, так как по условию при w = wкон функция w(М) терпит излом. На этом интервале М =М1.
Графики переходного процесса приведены на рис. 5.2,б. Время переходного процесса tпп можно найти, подставив в (5.2) w = wкон и решив относительно t:
(5.3)
Этот же результат, конечно, можно получить, решив (5.1) относительно dt и взяв определенный интеграл:

Рассмотренный простейший случай имеет очень большое практическое значение, так как к нему может быть сведено в целях оценки времени и характера переходного процесса большое число конкретных задач.
Пример. Оценить время пуска tп и построить приближенный график переходного процесса пуска короткозамкнутого асинхронного двигателя с известными механической характеристикой, Мс и J (рис. 5.3,а). Заменим реальную характеристику (сплошная линия) приближенной (пунктирная линия) и применив (5.3), получим:

а) б)
Рис. 5.3. Механические характеристики (а) и графики переходных процессов
w(t) и M(t) при пуске асинхронного двигателя
.
Зная tп, можно построить приближенные графики переходного процесса (пунктир на рис. 5.3,б). Эти графики будут отличаться от действительных (сплошные линии на рис. 5.3,б), однако во многих случаях полученная оценка может быть весьма полезной.

б) Мс = const, M линейно зависит от w, b < 0.
Пусть характеристики двигателя и механизма имеют вид, представленный на рис. 5.4. Уравнение линейной механической характеристики двигателя с отрицательной жесткостью может быть записано как
(5.4)
или
(5.5)
где – жесткость механической характеристики; для линейной характеристики .

Рис. 5.4. Механические характеристики и графики переходных процессов
w(t) и M(t) при линейной зависимости w(М)
Подставив (5.5) в (5.1), после простых преобразований получим:

Выражение в правой части, как следует из (5.4), представляет собою wкон. Обозначив коэффициент перед производной через Тм, запишем:
(5.6)
Теперь подставим в (5.1) вместо ее выражение, полученное из (5.4):

или, используя принятые выше обозначения,
(5.7)
Итак, мы обнаружили, что в рассматриваемом переходном процессе как для скорости, так и для момента справедливо одинаковое уравнение вида
, (5.8)
то есть линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянной правой частью.
Коэффициент при производной
(5.9)

называют электромеханической постоянной времени.

Рис. 5.5. К определению электромеханической постоянной времени Тм
Для выяснения смысла этой величины рассмотрим условный привод с характеристикой, показанной на рис. 5.5. Определив время разгона такого привода по (5.3)

замечаем, что оно выражается так же, как Тм. В связи с этим можно считать, что электромеханическая постоянная времени Тм представляет собою время, за которое привод разогнался бы вхолостую до w = w0 под действием момента короткого замыкания. Другие выражения для Тм приведены в (5.9). В некоторых частных случаях оказывается удобным выражать Тм через параметры привода. Так, для двигателя постоянного тока независимого возбуждения можно выразить жесткость характеристики как (см. п. 3.2)

Подставив это выражение в (5.9), получим
(5.9,а)
Правая часть уравнения (5.8) представляет собою конечное значений переменной, то есть установившуюся величину, которая будет достигнута после окончания переходного процесса.
Решение (5.8), как известно, имеет вид
x = xcв + хпр = Аеpt + хкон,
где p – корень характеристического уравнения
1 + pТм = 0,
то есть

А – постоянная, определяемая из начального условия: t = 0, x = xнач,
то есть А = хнач – хкон.
Итак, окончательно имеем:
(5.10)
то есть скорость и момент изменяются в переходном процессе от начальных до конечных значений по экспоненциальному закону с постоянной времени Тм (см. рис. 5.4).
Напомним некоторые важные свойства экспоненты.
1. Касательная в любой точке отсекает на линии установившегося состояния отрезок, равный Тм.
2. За время t = Тм изменение величины составляет 0,632 от полного изменения.
3. За время t = 3Тм изменение составляет 0,95 от полного. В дальнейшем мы будем считать, что процесс устанавливается за t = 3Тм.
Уравнение (5.10) позволяет решать любые задачи, относящиеся к рассматриваемому типу.
Пример 1. Рассчитать переходный процесс мгновенного наброса нагрузки от Мс1 до Мс2 на асинхронный короткозамкнутый двигатель с механической характеристикой, линейной на рабочем участке (рис. 5.6).

Рис.5.6. Переходный процесс наброса нагрузки

Вычислим Тм:

Определим начальные и конечные значения wи М:
wнач = w1, wкон = w2;
Мнач = Мс1, Мкон = Мс2
Запишем по (5.10) уравнения переходного процесса

и построим графики (рис. 5.6).

Пример 2. Рассчитать переходный процесс пуска с одной ступенью пускового реостата и динамического торможения с самовозбуждением двигателя постоянного тока последовательного возбуждения; Мс – реактивный.
Построим сначала пусковую диаграмму и тормозную характеристику (рис. 5.7,а) – см. п.п. 3.2, 3.4. Если на рабочих участках характеристики близки к прямым, можно воспользоваться аналитическим решением задачи. В данном случае механические характеристики имеют разрывы (при w3, w1) и изломы (при w4), поэтому необходимо разделить весь процесс на участки таким образом, чтобы в пределах каждого участка функции w(М) и w(Мс) были линейными и не имели изломов и разрывов.

а) б)
Рис. 5.7. Механические характеристики (а) и кривые переходных процессов (б) при реостатном пуске и динамическом торможении двигателя последовательного возбуждения
В нашем случае таких участков будет четыре:
I – 0< w < w3 (пуск на реостатной характеристике);
II – w3 < w < w1 (пуск на естественной характеристике);
III – w1 > w > w4 (торможение с самовозбуждением);
IV – w4 < w < 0 (торможение под действием Мс).
К первым трем участкам может быть применена формула (5.10), так как в пределах этих участков М(w) – линейные функции; к IV участку, где М = 0 и Мс = const, следует применить решение, полученное в п. а), т.е. формулу (5.2).
Обратим внимание на то, что отсчет времени в уравнениях (5.10) и (5.2), которыми мы будем пользоваться, ведется от момента t = 0, в который произошло изменение, вызвавшее переходный процесс. Поэтому, решая задачу по этапам, следует на каждом этапе отсчет времени вести от своего начала; общее время переходного процесса определится конечно, как сумма времени на этапах.
Для того, чтобы воспользоваться уравнениями (5.10) и (5.2), следует определить входящие в них начальные и конечные значения величин и постоянные времени.
Начальные значения скорости очевидны из графика w(М) – это фактические значения скорости в начале соответствующего этапа. При определении начальных значений момента следует помнить, что в рассматриваемых задачах мы пренебрегаем инерционностью электрических цепей и считаем, что ток, а следовательно, и момент изменяются мгновенно при изменении параметров привода, то есть при переходе с характеристики на характеристику. На графике w(М) это соответствует горизонтальным линиям – момент изменяется скачком при w = const. Поэтому в качестве начальных значений момента следует брать величины из графика w(М), получившиеся после соответствующего мгновенного изменения характеристики.
В качестве конечных значений w и М при использовании уравнения (5.10) следует всегда брать координаты точки пересечения двух прямых w(М) и w(Мс), то есть точки установившегося режима, независимо от того будет достигнут этот режим фактически или нет. Это важное правило вытекает из того, что уравнение (5.10) есть решение уравнения (5.8) именно при указанных условиях. Постоянные времени определяются для каждого этапа по (5.9).
Для рассматриваемой задачи начальные и конечные значения приведены в табл. 5.1 (следует обратить внимание на подчеркнутые величины).

Данные табл. 5.1 позволяют записать уравнения для каждого из четырех этапов и построить графики – рис. 5.7,б.
Таблица 5.1


№№
этапов

wнач

wкон

Мнач

Мкон

Тм

Примечания

I

0

w2

М1

Мс

Уравнение (5.10)

II

w3

w1

М1

Мс

Уравнение (5.10)

III

w1

-w5

-М3

Мс

Уравнение (5.10)

IV

w4

0

0

0

-

Уравнение (5.2)
Процесс заканчивается при w=0, так как Мс – реактивный

Пример 3. Рассчитать и построить кривые переходного процесса реверса двигателя постоянного тока независимого возбуждения, питающегося от сети U = const, при активном и реактивном характере Мс.


а)

б)

Рис. 5.8. Механические характеристики (а) и кривые переходных процессов (б)
при реверсе электропривода
Решение, как всегда, начнем с построения графиков w(М) (рис. 5.8,а); график реактивного Мс построен жирными пунктирными линиями.
Рассмотрим сначала случай, когда Мс активный. При этом, очевидно, переходный процесс протекает в один этап, а его уравнения, полученные из (5.10), имеют вид:

где

Соответствующие графики построены на рис. 5.8,б сплошными линиями.
При реактивном Мс, изменяющем знак при w = 0, необходимо рассматривать два этапа: I от w1 до w = 0 и II от w = 0 до w = – w2. На I этапе уравнения не будут отличаться от полученных ранее. Действительно, на этом этапе реактивный характер Мс не проявляется и он, как и в первом случае, способствует торможению привода. Этот результат соответствует правилу, изложенному в предыдущем примере.
На II этапе изменяется знак Мс и, в противоположность предыдущему случаю, Мс оказывает тормозящее действие при разгоне привода в противоположную сторону. Уравнения для этого этапа имеют вид:

Графики переходных процессов при реактивном Мс построены на рис. 5.8,б пунктирными линиями. В момент времени t¢ кривые терпят излом, темп процесса замедляется, что связано со скачкообразным уменьшением динамического момента, обусловленным изменением знака Мс.
Если требуется найти зависимость i(t), следует воспользоваться известным соотношением

в) Мс = const, Mлинейно зависит от w, b > 0
Рассмотренные выше переходные процессы при b < 0 соответствовали устойчивой точке установившегося режима wкон, Мкон, то есть w и М, изменяясь, стремились к этой точке. Вместе с тем, иногда требуется рассчитывать переходные процессы при b > 0, что соответствует неустойчивой точке установившегося режима (см. п. 1.3) – рис. 5.9,а.


а)

б)

Рис. 5.9. Механические характеристики (а) и кривые переходного процесса (б) при b> 0
В этом случае уравнение механической характеристики привода запишется как

или

что приведет после подстановки этих выражений в (5.1) и выполнения преобразований к уравнению
(5.11)

где х – скорость или момент;
хс – скорость или момент, соответствующие точке установившегося режима (см. рис. 5.9,а).
По сравнению с (5.8) в этом уравнении изменился знак перед производной, а в правой части стоит величина хс, не имеющая теперь смысла конечного значения переменной.
Решим уравнение (5.11), как уравнение с разделяющимися переменными; кстати, мы могли бы решить этим приемом и уравнение (5.8):


Использовав начальные условия t = 0, x = xнач, получим
х = (хнач – хс) (5.12)
Графики w(t) и М(t), соответствующие (5.12), показаны на рис. 5.9,б.

г) Мс и М – линейные функции w.
Полученные в п.п. б) и в) результаты можно распространить на случай, когда М и Мс – линейные функции скорости.
Рассмотрим эту возможность на простом примере. Пусть требуется рассчитать переходный процесс пуска привода, если характеристики двигателя и нагрузки заданы, как показано на рис. 5.10,а пунктиром.
Заменим эти характеристики одной – зависимостью динамического момента Мдин = М – Мс от скорости. Эта зависимость линейна, так как линейны М(w) и Мс(w) – сплошная линия на рис. 5.10,а. Теперь, воспользовавшись полученными ранее результатами, можно получить зависимости w(t) и Мдин(t). При этом wнач = 0, wкон = w¢, Мдин нач = Мдин1, Мдин кон = 0, ; кривые построены на рис. 5.10,б сплошными линиями. Если необходимо, можно построить и графики М(t) и Мс(t), так как известны начальные и конечные величины (рис. 5.10,а) и определена Тм. Эти графики показаны на рис. 5.10,б пунктиром.


а)

б)

Рис. 5.10. Механические характеристики (а) и кривые переходных процессов (б)
при линейных зависимостях М(w) и Мс(w)

5.3. Переходные процессы при L=0 и “медленных” изменениях воздействующего фактора
К задачам данной группы ранее были отнесены переходные процессы в системе преобразователь – двигатель (П-Д). Фактор, вызывающий переходный процесс, изменяется не мгновенно (темп его изменения соизмерим с темпом изменения скорости привода в переходном процессе); учитывается только механическая инерция в приводе (J), индуктивности в цепях двигателя малы или не проявляются.
Типичные структуры системы П-Д и соответствующие механические характеристики показаны на рис. 5.11 и 5.12.

а) б)
Рис. 5.11. Система ПН-ДПТ и ее механические характеристики
Роль преобразователя П в схеме на рис. 5.11, как отмечалось, может играть генератор (система Г-Д) или тиристорный преобразователь (ТП-Д). Фактор, вызывающий переходный процесс в этих системах, – изменение входного сигнала uвх, приводящее к изменению ЭДС преобразователя еп.

а) б)
Рис. 5.12. Система ПЧ-АД и ее механические характеристики
Роль преобразователя П в схеме на рис. 5.12 играет статический преобразователь частоты. Фактор, вызывающий переходный процесс в этих системах, – изменение входного сигнала uвх, приводящее к изменению частоты и напряжения на выходе преобразователя.
Как и прежде, целью изучения переходных процессов в системе П-Д будет определение зависимостей w(t), М(t) и иногда i(t) при известных условиях переходного процесса и параметрах привода.
Введем ряд условий и допущений.
1. Механические характеристики привода w(М) известны, линейны (по крайней мере, на рабочих участках) и параллельны друг другу, то есть выражаются уравнением (5.4):

где – жесткость характеристик.
2. Известны или могут быть определены зависимости еп(t) или f1(t), то есть закон изменения во времени фактора, вызывающего переходный процесс. Так как еп или f1 однозначно связаны со скоростью идеального холостого хода привода w0
– для схемы на рис. 5.11,
– для схемы на рис. 5.12,
то известен закон изменения во времени w0.
3. Известно начальное (wнач, Мнач) и конечное (wкон, Мкон) состояние привода, момент инерции J и момент сопротивления Мс = const.
4. Преобразователь П обладает двусторонней проводимостью, то есть характеристики w(М) могут располагаться во всех квадрантах плоскости w, М.
Рассмотрим прежде всего качественные отличия переходных процессов в системе П-Д от изученных ранее случаев, когда еп или f1 изменялись мгновенно, то есть мгновенно устанавливалась соответствующая новая механическая характеристика, а изменение скорости w и момента М в переходном процессе происходило согласно именно этой характеристике. Переходный процесс определялся статической механической характеристикой привода.
В рассматриваемых далее задачах еп или f1 изменяются, как указывалось, не мгновенно, то есть переход привода с одной характеристики на другую происходит постепенно, одновременно с изменением скорости, в результате чего соответствие между скоростью w и моментом М в каждый момент времени определяется не статической механической характеристикой, а другой, отличной от нее характеристикой, которую мы далее будем называть динамической механической характеристикой или просто динамической характеристикой.
В качестве примера на рис. 5.13 показана статическая характеристика асинхронного двигателя при номинальной частоте 1, по которой будет происходить пуск при мгновенном приложении к двигателю напряжения такой частоты, и динамическая характеристика 2, соответствующая пуску двигателя путем плавного изменения частоты от нуля до номинальной по некоторому закону.

Рис. 5.13. Статическая 1 и динамическая 2 механические характеристики
Динамические характеристики определяются темпом изменения фактора, вызывающего переходный процесс, и параметрами привода, могут очень сильно отличаться от статических характеристик и даже иметь совсем другую форму.
Легко обнаружить связь зависимостей w(t) и М(t) с динамической характеристикой привода: исключив время t из уравнений w(t) и М(t), мы получим динамическую характеристику.

а) Уравнения, описывающие переходные процессы.
Из уравнения механической характеристики (5.4) получим:
М = ½b½w0 -½b½w. (5.5,а)
Подставив (5.5,а) в уравнение движения (5.1), после элементарных преобразований будем иметь:
(5.13)
Коэффициент при производной как и раньше, – электромеханическая постоянная времени Тм. Правая часть уравнения представляет собою скорость wс, соответствующую моменту сопротивления Мс, однако, в рассматриваемом случае w0 , а значит и wс не постоянные величины, а известные функции времени w0(t) и wc(t). Таким образом, уравнение (5.13) имеет вид:
. (5.14)

Решение этого дифференциального уравнения определит искомую зависимость w(t).
Для получения зависимости М(t) удобно воспользоваться непосредственно уравнением движения (5.1), подставив в него производную найденной функции w(t):
(5.15)
Правая часть уравнения (5.14), вообще говоря, может иметь любой вид. Закон w0(t) в случае безынерционного преобразователя формируется на его входе; при инерционном преобразователе закон w0(t) связан со свойствами преобразователя. В ряде случаев закон w0(t) формируется таким образом, чтобы получить требуемый закон w(t).

б) Уравнение переходных процессов при линейном законе wс(t)
Получим решение уравнения (5.14) для одного важного вида функции wс(t) – для линейного изменения wс во времени:
wс(t) = а + kt. (5.16)
Такой закон может быть сформирован при безынерционном преобразователе с помощью задатчика интенсивности.
Мы используем здесь общее уравнение прямой, не накладывая пока никаких ограничений на величины а и k с тем, чтобы, рассматривая частные случаи, можно было пользоваться полученным общим результатом.
Уравнение (5.14) с учетом (5.16) имеем вид:
(5.17)
Решение будем искать, как и прежде, в виде суммы свободной wсв и принужденной wпр составляющих:
w = wсв + wпр . (*)
Свободная составляющая, то есть решение однородного уравнения, полученного из (5.17) имеет вид:

Принужденную составляющую будем искать, учитывая (5.16), в виде:
wпр = В + kt,
так как в установившемся режиме скорость будет линейно изменяться во времени. Подставив wпр в (5.17) получим:
В + kt + kTм = a + kt
или
B = a – kT м.
Подставим теперь wсв иwпр в (*):

Постоянную А найдем, используя начальные условия: при t = 0 w = wнач:
wнач = А + а – kTм,
откуда
А = wнача + kTм
Окончательно будем иметь:
. (5.18)
Перейдем теперь к рассмотрению некоторых конкретных переходных процессов в системе П-Д.

в) Пуск вхолостую.
Будем полагать, что закон изменения во времени фактора, вызывающего переходный процесс, еп или f1 или в общем случае w0 имеет вид, представленный на рис. 5.14 справа вверху. Так как Мс = 0 (пуск вхолостую), то wс = (t) будет совпадать с w0(t) – см. уравнение (5.13), т.е. а = 0 и

где e – ускорение, характеризующее темп изменения w0;
при 0 < t < t1 wс(t) = et;
при t > t1 wс(t) =w01 = сonst.
Излом функции wс(t) при t = t1 свидетельствует о том что переходный процесс состоит из двух этапов, и его необходимо рассчитать отдельно для каждого участка.
I этап (0 < t < t1).
Приняв, что при t = 0 wнач = 0 и подставив в (5.18) а = 0, k = e, получим
(5.19)

Рис. 5.14. Механические характеристики и графики переходного процесса
при пуске вхолостую с w0(t) = et
Воспользовавшись уравнением (5.15), найдем закон изменения момента во времени:
(5.20)
Проанализируем полученные уравнения.
Ускорение привода определится как

и при t = 0 Этот результат очевиден: при t = 0 wс = w0 = 0 т.е. еп = 0 или f1 = 0, привод не развивает момента и в соответствии с уравнением движения (5.1) и .

При t > 3Тм , т.е. скорость изменяется в том же темпе, что и фактор,

вызывающий переходный процесс. Из уравнения (5.19) следует, что при t > 3Тм
w = e(t – Тм) = wс(t) – eТм . (5.19,а)
Графики wс(t) и w(t) представлены на рис. 5.14. Кривая w(t) сдвинута вправо относительно кривой wс(t) на величину Тм; в каждый момент времени при t > 3Тм разница между wс и wсоставляет eТм.
Момент в соответствии с (5.20) возрастает по экспоненциальному закону (см. рис. 5.14) и при t > 3Тм достигает величины
Mмакс = Je. (5.20,а)
Это соотношение позволяет оценить допустимую величину e. Действительно, если считать, что в переходном процессе Ммакс = Мдоп, то

В частности, можно найти минимальное время пуска привода при котором момент не превысит допустимого значения:

Если положить, что Мдоп = 2 Мн, а , что справедливо для нормальной электрической машины средней мощности, то получим

II этап (t > t1).
На II этапе wс =w01 , а значит, и еп или f1 имеют постоянную величину. Переходный процесс в этом случае ничем не отличается от рассмотренных ранее переходных процессов, отнесенных к первой группе задач. Если отсчитывать время от t1, (точка 0’), то скорость w и момент М будут изменяться в соответствии с уравнением (5.10); в качестве хнач следует принять значения w и М в момент времени t1. Если t1< 3Тм, начальные значения должны быть лпределены по (5.19) и (5.20) при подстановке в эти уравнения t = t1.
В качестве хкон, очевидно, следует взять w01 и 0.
Графики w(t) и M(t) на II этапе показаны на рис. 5.14. Там же слева приведена динамическая механическая характеристка для случая пуска вхолостую.
Все рассмотренные выше величины и зависимости имеют очевидный физический смысл для системы П-Д с двигателем постоянного тока. Действительно,

т.е. кривая w0(t) представляет собою в некотором масштабе закон изменения во времени еп, а кривая w(t) – закон изменения е в том же масштабе. Разность этих величин в соответствии с вторым законом Кирхгофа определит ток, протекающий в якорной цепи:

а значит, и момент, развиваемый двигателем
M(t) = ci(t).

г) Реверс (торможение) вхолостую.
Для осуществления реверса w0 должна изменить направление. Это значит, что еп уменьшается до 0, затем изменяет полярность и возрастает до заданной величины, либо f1 уменьшается до 0, меняется чередование фаз и f1 возрастает до заданной величины.
Как и прежде, будем считать, что изменение w0 во времени осуществляется по линейному закону при (0 < t < t1), затем при t > t1 w0 = w01. Таким образом, переходный процесс состоит из двух участков, которые следует рассматривать отдельно. Так как переходный процесс осуществляется вхолостую (Мс = 0), тоwс(t) = w0(t).
I этап (0 < t < t1).
На I этапе изменение wс(t) можно представить уравнением (5.16), подставив в него а = w01, k = -e. Тогда, воспользовавшись уравнением (5.18), в которомwнач = w01, получим

или
(5.21)
Уравнение (5.16) определяет закон изменения М во времени:
(5.22)
Проанализируем полученные уравнения.
Ускорение привода

При t = 0 , что очевидно и с физической точки зрения: при t = 0 М = 0 т.е. и .
При t > 3Тм , т.е. как и при пуске, скорость изменяется в том же темпе, что и фактор, вызвавший переходный процесс. При t > 3Тм
w = w01 – e(t – Тм) = wс(t) +eТм ,
т.е. как и при пуске, кривая w(t) располагается правее кривой wс(t) , причем сдвиг по оси t составляет величину Тм, а в каждый момент времени при t > 3Тм разница между wс и wсоставляет eТм.
Момент отрицателен и изменяется по экспоненциальному закону до величины
Mмакс = – Je.

II этап (t > t1).
Переходные процессы на II этапе подчиняются уравнению (5.10) и рассчитывается очевидным образом.
Кривые wс(t), w(t) и М(t) и динамическая характеристика показаны на рис. 5.15.

Рис. 5.15. Механические характеристики и графики переходного
процесса при реверсе вхолостую с w0(t) = -et
При торможении вхолостую w0 изменяется от значения w01 до нуля. Как и при реверсе, процесс состоит из двух этапов, причем на I этапе (0 < t < t1 ) кривые w(t) и М(t) не отличаются от аналогичных кривых при реверсе, а на II этапе – подчиняются уравнению (5.10) с соответствующими хнач и хкон.
Кривые w(t) и М(t), а также динамическая характеристика показана на рис. 5.16.

Рис. 5.16. Механические характеристики и графики переходного
процесса при торможении вхолостую с w0(t) = -et
Рассмотрим кратко порядок операций при построении кривых переходного процесса в рассматриваемых случаях.
1. Изображается wс(t), в рассмотренных случаях wс(t)= w0(t); отмечаются этапы и определяется e на этапе, где wс(t) изменяется.
2. Проводится линия, параллельная wс(t) и сдвинутая вправо на Тм, – это и будет основа графика w(t).
3. Корректируется график w(t) на начальном и конечном (II) участках, введением экспонент с постоянной времени Тм.
4. Строится основа графика М(t) – прямоугольник со сторонами 0 – t1 и Je; в случае реверса и торможения e имеет отрицательный знак.
5. Корректируется график М(t) на начальном и конечном участках, введением экспонент с постоянной времени Тм.

Переходные процессы под нагрузкой.
Общие формулы (5.15) и (5.18) справедливы и для этого случая, вместе с тем различия в характере нагрузки – Мс может быть как активным, так и реактивным – и в начальных условиях делают задачи разнообразными и иногда не очень простыми.
Выясним прежде всего, как будет изменяться правая часть (5.13), т.е. wс(t) =w0(t)Мс / êb½, при тех же, что и прежде, изменениях w0(t), но различном характере Мс.
Как показано на рис. 5.17, при активном моменте сопротивления wс(t) располагается ниже w0(t) на Dw и никаких существенных отличий в алгоритме решения задачи нет. Единственное, пожалуй, о чем следует позаботиться, – о правильном учете начальных условий при пуске. Возможны два случая – первый, когда при t = 0 w = 0, т.е. когда растормаживание привода с активным моментом и начало роста w0(t) совпадают, и второй, когда до начала пуска привод вращался под действием активного Мс с небольшой скоростью -Dw – пунктир на рис. 5.17.

Рис. 5.17. Переходный процесс пуска при активном Мс
При пуске с реактивным Мс (рис. 5.18) скорость начинает изменяться через некоторое время , за которое момент двигателя вырастет до значения Мс. В качестве примера на рис. 5.18 показаны все кривые, соответствующие этому случаю.

Рис. 5.18. Переходный процесс пуска при реактивном Мс
При реверсе с реактивным Мс имеются две ветви wс(t), причем переход с одной на другую осуществляется в момент времени, когда скорость, достигнув нулевого значения, изменит знак.
Таким образом, как следует из изложенного в системе преобразователь – двигатель можно формировать любые требуемые динамические характеристики.

5.4. Переходные процессы при L¹0
Ограничим рассмотрение задач этой группы случаями, когда механические характеристики привода линейны.
Как и прежде, переходный процесс должен удовлетворять уравнению (5.1)

однако изменение М, а значит и теперь будет определяться не только внешним воздействием, но и электрической инерционностью – индуктивностью L. В системе действуют два накопителя энергии J и L и при определенных условиях возможен обмен энергией между этими накопителями, т.е. колебательный процесс.

а) Переходный процесс в электроприводе с двигателем постоянного тока независимого возбуждения при ¹0.
Рассмотрим схему на рис. 5.19. Отличительной особенностью схемы по сравнению с рассмотренными ранее является индуктивность . Для якорной цепи справедливо уравнение:
, (5.23)
решив которое относительно w:
(*)
и обозначив получим
. (**)

Рис. 5.19. Схема пуска электропривода постоянного тока с двигателем
независимого возбуждения
Если сравнить (**) с (3.4), то окажется, что уравнения идентичны, однако в (**) U¢ зависит от т.е. уравнение (**) представляет семейство прямых (рис. 5.20,а), параллельных естественной характеристике и располагающихся как ниже (> 0), так и выше (< 0) нее. При = 0, очевидно, уравнение (**) соответствует естественной характеристике.
После замыкания ключа К ток i начинает расти, значит растет М и привод разгоняется (для упрощения рассуждений примем Мс = 0), переходя при этом с характеристики на на характеристику (> 0, но уменьшается по мере разгона). В процессе увеличения тока и скорости (участок Оа на рис. 5.20) возрастает запас энергии как в индуктивности, так и во вращающемся якоре. В точке а рост тока прекращается; при этом в соответствии с (*) привод оказывается на естественной характеристике, но М > Мс = 0. С точки а начинается спадание тока, т.е. энергия, запасенная в , передается вращающемуся якорю. Механизм передачи очевиден из (*): напряжение, приложенное к якорю U¢, становится больше, чем напряжение сети U. На участке аb привод разгоняется, соответственно растет е = сw, причем в точке b i = 0 – запас энергии в исчерпан, однако w >w0и e > U, т.е. в якоре запасена избыточная механическая энергия.
На участке bc под действием e > U ток изменяет направление, привод тормозится, при этом избыточная механическая энергия вновь переходит в электромагнитную энергию, накапливаемую в индуктивности. В точке с = 0, однако в запасена энергия, чему соответствует i ¹ 0 и M ¹ 0. Привод продолжает тормозиться до точки d, затем процесс повторяется.
Кривая 0abcd...w0 в плоскости w – M представляет собою динамическую механическую характеристику. Соответствующие зависимости w(t), i(t) или M(t) показаны на рис. 5.20,б.

а) б)
Рис. 5.20. Механические характеристики (а) и переходной процесс пуска при Lя¹ 0 (б)
Так как в якорной цепи есть сопротивление процесс перекачивания энергии сопровождается ее рассеиванием, вследствие чего система после ряда колебаний приходит в точку w0, соответствующую установившемуся режиму. Если бы сопротивление было равным нулю, колебания w и М имели бы незатухающий характер. Если, наоборот, велико, энергии, запасенной в на участке , может оказаться недостаточно для покрытия потерь в и вывода якоря в точку w > w0 при i = 0. В этом случае процесс будет иметь апериодический характер.
Количественное описание рассмотренных выше процессов можно получить, решив совместно (5.1) и (5.23). Из (5.1) при Мс = 0 следует:
.
Подставив это выражение и его производную

в (5.23), получим после элементарных преобразований:
(5.24)
где

Решение (5.24) найдем в виде
w = wсв + wпр = + w0, (5.25)
где А1, А2 – постоянные, определяемые по начальным условиям
w½t=0и
p1, p2 – корни характеристического уравнения
1 + Тмр + ТмТяр2 = 0 (D)
Решив (D), получим

откуда вытекает условие колебательности процесса. Если
т.е. Тм < 4Тя,
корни комплексные и процесс носит колебательный характер; если
т.е. Тм ³ 4Тя,
корни действительные и процесс апериодический.
Уравнение для тока или момента легко получить, воспользовавшись, как и прежде, (5.15). Продифференцировав (5.25) и умножив результат на J получим:
М = J (). (5.26)

б) Переходные процессы в системе ИТ-Д, замкнутой по скорости

Рассмотрим переходные процессы в системе ИТ-Д (п. 3.7) на участке, где действует отрицательная обратная связь по скорости. Если при анализе установившихся режимов мы не учитывали индуктивность цепи возбуждения, то теперь это сделать необходимо, так как момент в этой системе определяется , а изменение этого тока связано с .
Уравнения динамики для схемы на рис. 5.21 имеют вид (примем, как и в предыдущем случае, что Мс = 0):
(5.27)
(5.28)
где – напряжение на обмотке возбуждения;
Rв, Lв – активное сопротивление и индуктивность цепи возбуждения;
– текущее значение тока возбуждения.

Рис. 5.21. Схема системы источник тока – двигатель, замкнутой по скорости
Эти уравнения отражают динамические свойства системы, так как содержат члены члены с J и . Кроме того, следует записать уравнения, отражающие связи между переменными.
Из общего уравнения для момента (3.1), приняв, что Ф = a, имеем:
М = kФI = kIa
или с учетом (5.27)

Из уравнения замыкания системы при линейном безынерционном возбудителе получаем:

или с учетом (5.28)

После простых преобразований получаем окончательно:
(5.29)
где – электромеханическая постоянная времени;
- постоянная времени цепи возбуждения;
- скорость идеального холостого хода.
Сравнив (5.29) с (5.24), обнаруживаем полное сходство уравнений, хотя входящие в них параметры совершенно различны. В этом факте проявляется глубокая физическая общность систем на рис. 5.19 и 5.21: каждая из них имеет по два накопителя энергии и существуют условия для обмена энергией между ними.
Очевидно, что уравнению (5.29) соответствуют процессы, рассмотренные в п.а).
в) Переходные процессы при изменении магнитного потока двигателя независимого возбуждения.

Рис. 5.22. Схема электропривода постоянного тока с двигателем
независимого возбуждения при ослаблении поля
Рассмотрим еще один практически важный случай – изменение Ф в двигателе постоянного тока независимого возбуждения (рис. 5.22). В исходном состоянии ключ К замкнут и привод работает на естественной характеристике (рис. 5.22) в точке wнач = wс нач. Переходный процесс вызывается размыканием в момент t = 0 ключа К, в результате чего уменьшается ток и магнитный поток Ф и привод переходит на верхнюю характеристику. Если бы обмотка возбуждения не обладала индуктивностью, то ток изменился бы мгновенно, т.е. мгновенно исходная (естественная) характеристика заменилась бы конечной, и переходный процесс протекал по ней, как было описано в п.5.2 (пунктирные стрелки на рис. 5.23). В действительности же L ¹ 0, и переход от естественной характеристики к конечной происходит во времени, причем темп этого перехода в общем случае соизмерим с темпом изменения скорости. В результате динамическая механическая характеристика имеет вид, показанный на рис. 5.23 сплошной линией со стрелкой.

Рис. 5.23. Механические характеристики при ослаблении поля

Получим уравнение, описывающее изменение скорости. Для этого за основу, как и раньше, возьмем уравнение движения (5.1)
(5.1)
Зависимость момента от скорости можно в соответствии с рис. 5.23 записать как
. (*)
Подставив (*) в (5.1), после простых преобразований получим

или, если учесть, что
и
(5.30)
В этом уравнении, похожем внешне на (5.6), есть существенное отличие: Тм и wсзависят от потока и растут с его уменьшением.
В свою очередь, магнитный поток экспоненциально изменяется во времени, если принять зависимость Ф(iв) линейной.
Численное решение (5.30), подстановка в (5.1) и вычисление тока якоря по соотношению

приводят к результату, представленному на рис. 5.24 и имеющему, как и при всяком численном решении, частный характер.

Рис. 5.24. Переходный процесс при ослаблении поля
В данном случае переходной процесс определяется двумя инерционностями – J и и описывался двумя дифференциальными уравнениями первого порядка, одно из которых было нелинейным. Эти уравнения не имели комплексных корней, в чем отразилась физическая невозможность обмена энергией между двумя накопителями.

5.5. Переходные процессы в системах
Рассмотренные ранее случаи переходных процессов относятся к простейшим электроприводам, когда учитываются лишь основные накопители энергии и можно уделять внимание физической стороне дела, относительно просто приходя к результату. Вместе с тем, все современные электроприводы представляют собой весьма сложные многоэлементные замкнутые системы, и для их анализа и синтеза приходится прибегать к приемам, разработанным в теории автоматического управления. Один из самых распространеных на практике приемов – использование структурных схем с передаточными функциями входящих в систему элементов.
Передаточная функция – отношение изображений по Лапласу выходной величины к входной при нулевых начальных условиях. Так, для цепи R – L, подключенной к источнику напряжения u(t) имеем:

или, заменив на р, u(t) на u(p) и i(t) на i(p) и решив уравнение относительно i(p), принятом за выходную величину, получим

где – постоянная времени.
Для двигателя постоянного тока независимого возбуждения с учетом индуктивности якорной цепи при питании якоря от источника напряжения u(t) и kФ = с, приняв за выходную величину w(t) и за входную u(t) после перехода к изображениям, получим для случая Мс = 0 структурную схему на рис. 5.25,а.
Проделав элементарные преобразования, будем иметь передаточную функцию двигателя в виде колебательного звена (рис. 5.25,б):
,
где – электромеханическая постоянная времени,
– постоянная времени цепи якоря.

а)

б) в)
Рис.5.25. Передаточные функции двигателя постоянного тока
независимого возбуждения
Если корни характеристического уравнения действительные, будем иметь два апериодических звена (рис. 5.25, в):
.
Используя подобные действия, можно получить структурную схему любой системы и применить к ней приемы преобразования. анализа и синтеза, разработанные в теории автоматического регулирования.
Рассмотрим здесь кратко лишь один из таких приемов рационального управления динамической системой – построение систем подчиненного регулирования с последовательной коррекцией.
Для выходной координаты некоторого объекта регулирования образуют замкнутый контур, в который входит как сам объект, так и специальный регулятор, обеспечивающий заданное качество регулирования.
Пусть передаточная функция объекта регулирования имеет вид, к которому часто удается привести после преобразований передаточную функцию реального устройства:
, (5.31)
где К – общий коэффициент передачи,
Т – наибольшая постоянная времени,
Тj – малые постоянные времени.
Поставим задачу максимально сократить время переходного процесса, исключив колебательность.
Рассмотрим сначала первый сомножитель в (5.31).
Теоретически возможно увеличить коэффициент передачи, включив на вход регулятор с передаточной функцией Wp(р)= K1, однако это повысит чувствительность к помехам и склонность к колебательности. Теоретически возможен регулятор с передаточной функцией Wp(р)= Tр+1, однако такой регулятор нереализуем физически. На практике обычно используют пропорционально-интегральный регулятор (ПИ-регулятор) с передаточной функцией
(5.32)
Тогда в разомкнутой структуре с таким регулятором будем иметь без второго сомножителя в (5.31):
. (5.33)
Для выбора Т0 пользуются вторым сомножителем в (5.31). Если принять
(5.34)
то, как показано в теории, можно считать, что
(5.35)
Тогда, очевидно, передаточная функция разомкнутой системы будет
(5.36)
а передаточная функция замкнутой системы определится как
, (5.37)
где – параметр, характеризующий вид переходного процесса; на рис. 5.26 приведены переходные функции для различных а. Очевидно, что компромисс между колебательностью и длительностью переходного процесса достигается при а = 2, и такая настройка (выбор Т0) называется настройкой на технический оптимум. При этом без большой погрешности можно принять, что
(5.38)
Итак, оптимизация объекта с передаточной функцией W0(р) имеет компромиссный характер, осуществляется включением ПИ-регулятора Wр(р) с замыканием системы по выходной координате и состоит в замене разомкнутой структуры с большой постоянной времени Т замкнутой структурой с аналогичной передаточной функцией, но с другой постоянной времени, выбираемой из условия желаемого качества переходных процессов.

Рис. 5.26. Характер переходных процессов в контуре при различных а = Т0/Тm
Изложенная процедура оптимизации особенно удобна и эффективна, если в систему входит несколько контуров – рис. 5.27. Начав с внутреннего (контур 1) и оптимизировав его, как было описано выше, переходят к следующему контуру (контур 2) и действуют аналогичным образом.

Рис. 5.27. Многоконтурная система
Если принять для упрощения, что малые постоянные Тj, образовавшие некомпенсируемую постоянную Тm, сосредоточены во внутреннем контуре, а во внешнем отсутствуют, можно получить следующие передаточные функции i-ого контура:
(5.39)
и
. (5.40)
К достоинствам изложенной оптимизации относится идентичность переходных процессов в каждом контуре при их независимой настройке, простота ограничения координат за счет ограничения задания нелинейной характеристикой вход-выход соответствующего регулятора, удобство в практической наладке систем. К недостаткам можно отнести сравнительно низкое быстродействие внешних контуров – см. (5.40).
Приведенный пример оптимизации сложной системы, разумеется, далеко не исчерпывает всех возможностей. Так, в настоящее время с появлением эффективной компьютерной поддержки все чаще используется прием, состоящий в составлении поэлементного математического описания системы, представлении дифференциальных уравнений в форме Коши и использовании мощных пакетов типа Simnon, Simulink и др. для работы с полученным математическим описанием. Самым сложным, требующим немалых усилий здесь является этап получения адекватного математического описания. Остальное берет на себя мощный, хорошо организованный программный продукт.
Во всех подходах, естественно, теряется физическая сторона процессов, однако появляется возможность работать с весьма сложными системами.